سری

مفهوم سری :

در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

...+5+4+3+2+1

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.

سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.

a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا نشان میدهند
در صورتی که به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.

هر سری تابعی به شکل
را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:

حال به قضیه مهمی به نام قضیه تیلور میرسیم؛طبق این قضیه هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب نوشت.

قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:

لازم به توضیح است که در سری فوق c=0 در نظر گرفته شده است.

تصاعد حسابی

همانطور که می‌دانیم اصطلاح "سری" را برای کمیت‌هایی که با ضابطه معینی مرتب شده‌اند بکار می‌بریم. هر یک از این کمیت‌ها را یک جمله سری و جمله nام را که برحسب n نوشته می‌شود جمله عمومی می‌نامیم.

تعریف:
اگر جمله عمومی یک سری بصورت باشد که در آن d , a عددهای ثابت و مستقل از n هستند، سری را تصاعد حسابی می‌نامیم. از تعریف بدست می‌آید:

پس تفاضل هر دو جمله متوالی تصاعد حسابی مقدار ثابت d است. به همین سبب d را تفاضل مشترک تصاعد حسابی می‌نامند. همچنین به ازای n=1 ، . پس ، a جمله اول تصاعد حسابی است. بنابراین جمله‌های دیگر تصاعد حسابی با افزودن مقدار ثابت d به جمله پیش از آن بدست می‌آید.

مجموع n جمله اول تصاعد حسابی

فرض می‌کنیم که جمله rام تصاعد حسابی باشد، یعنی . می خواهیم را که با نشان داده می‌شود، حساب کنیم. اکنون ، سری دیگری می‌سازیم که در آن n جمله اول تصاعد حسابی با ترتیب عکس قرار گرفته باشند سری جدید بصورت زیر است:

مجموع این سری همان مجموع n جمله اول تصاعد حسابی است. پس ،

معمولا جمله nام ، یعنی را با l نشان می‌دهیم. پس

ویژگی‌ها

اگر عددی را به همه جمله‌های یک تصاعد حسابی اضافه کنیم یا از آنها کم کنیم یک تصاعد حسابی دیگر با همان تفاضل مشترک بدست می‌آید.
اگر همه جمله‌های یک تصاعد حسابی در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم شوند یک تصاعد حسابی دیگر با تفاضل مشترک متفاوت بدست می‌آیند.

تصاعد هندسی

به دنباله‌ای که رابطه بازگشتی آن باشد یک دنباله هندسی یا تصاعد هندسی گفته می‌شود.
را قدرنسبت تصاعد هندسی می‌نامیم.
اگر و باشد، دنباله اکیداً صعودی خواهد بود و اگر و دنباله اکیداً نزولی خواهد بود.
رابطه صریح دنباله هم به صورت می‌باشد که واضح نیز به نظر می‌رسد.
مسأله‌ای که در تصاعد هندسی قابل تأمل می‌باشد مجموع جملات آن است.
اگر را مجموع جملات تا تعریف کنیم:

آنگاه دنباله‌ای با رابطه بازگشتی زیر خواهد بود:

اما مقدار صریح نیز به سادگی قابل محاسبه می‌باشد که داریم:

مثال:
اگر مجموع جملات دنباله هندسی با عنصر اول و قدرنسبت و مجموع جملات دنباله هندسی دیگری با همان عنصر اول ولی قدرنسبت باشد. رابطه و را بدست آورید؟
حل .

سری تیلور :

به وسیلهٔ بسط تیلور ( Taylor series)، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.

تعریف: اگر $f$ در همسایگی $x_0$ و $mid {x-x_0}mid$ بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه $f$ را می‌توان به صورت توان‌هایی از $(x-x_0)$ نوشت.

که در اینجا، $f^{n}(x)$ مشتق n-اُم تابع $f$ است. این بسط به نام ریاضی‌دان انگلیسی بروک تیلور اسم‌گذاری شده است. این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.