محاسبه جذر اعداد با فرجه دلخواه

_{بااستفاده ازاین روش می توانیدجذر اعداد را با فرجه دلخواه محاسبه نمایید. این روش دارای حداکثر پنج صدم خطا می باشد و روش مناسبی برای جذر گیری است.با استفاده از فرمول زیر می تواند حاصل جذر را به صورت یک کسر به دست آورده و در صورت تمایل با تقسیم صورت بر مخرج حاصل را به طور تقریبی بیابید. فرمول کلی به شکل زیر است.}

_{مثال: حاصل جذر را های زیر را بیابید.}

_{**هر چه عدد مورد نظر بزرگ تر باشد خطا جذر گیری با استفاده ز این روش کمتر می باشد**}

                                                   

الفبای یونانی

 دانلود کتابچه حروف یونانی 

اتحاد و تجزیه

اتحاد چیست؟

رابطه یا تساوی ای است بین ۲عبارت جبری که به ازای جمیع مقادیر x رابطه برقرار است.

در ریاضیات اتحادها تساوی هایی هستند که به ازای هر مقدار عددی از دامنه خود که بجای متغییرهایشان قرار دهیم همواره برقرار باشند. به عنوان مثال تساوی برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساوی فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم.
به عنوان مثال در اتحاد مثال زده شده دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود.
به این ترتیب تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه(مجموعه جواب معادله) برقرار است.
عبارات زیر نمونه ای از اتحاد است:

                                     

روش های تجزیه ی چند جمله ای ها:

1-فاکتور گیری (عکس عمل ضرب نسبت به جمع و تفریق)

بین ضرایب یک جمله ب.م.م آن ها را و بین حروف ،مشترک ها را با کوچکترین توان به عنوان فاکتور می نویسیم.

2- استفاده از اتحاد ها:

الف)اگر دو جمله داشته باشیم هر دو مربع باشند و بین آنها تفریق باشد از اتحاد مزدوج کمک می گیریم

 ب)اگر دو جمله داشته باشیم هر دو مربع باشند و بین آن ها جمع یا تفریق باشد مجموع یا تفاضل مکعبات دو جمله اول به ما کمک می کند.

ج)اگر سه جمله داشته باشیم دو تا از  آن ها مربع باشند احتمالا اتحاد مربع دو جمله ای کمک می کند.

د)اگر سه جمله داشته باشیم یکی از آنها مربع باشد احتمالا اتحاد جمله مشترک به ما کمک می کند.

ه)اگر سه جمله داشته باشیم با یک شبه مربع از روش A کمک می گیریم که در آن اتحاد جمله مشترک استفاده می شود.

و)اگر چهار جمله  داشته باشیم با دو مکعب احتمالا اتحاد مکعب مجموع یا مکعب تفاضل دو جمله ای به ما کمک می کند.

ز)اگر شش جمله داشته باشیم سه تا از آنها مربع باشند احتمالا اتحاد مربع سه جمله ای استفاده می شود.

 

اتحادهای مهم جبری را در ادامه مطلب ببینید.

ادامه نوشته

درباره ی مجموعه های اعداد

اعداد طبیعی :

اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,۳ ,۲ ,۱} است.
در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.
در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای
طبیعی، گرفته شده است.

اعدادصحیح :

به مجموعه‌ی اعداد زیر ،‌ اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می‌دهند:
                                                                                   { ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.
صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

اعداد گویا :

اعدادگویا،حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b نوشت (که a و b اعداد صحیح‌اند).
در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با Q نمایش می‌دهند که به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی است. مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعه‌ای چگال (dense) از مجموعهٔ بزرگ‌تر و عمومی‌تر اعداد حقیقی است.
گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت راديكال سه دوم کسر هست، ولی، گویا نیست.

اعداد گنگ یا اصم :

اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آن‌ها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است ولي می‌توان اعداد گنگ را روي محور اعداد نمايش داد،برای این منظور ميتوان از رابطه فيثاغورث استفاده كرد.

اعداد حقیقی :

تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با R نمایش می‌دهند.

اعداد مختلط :
اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط می نامند.

شعر ریاضی

مفهوم تابع

مفهوم تایع یکی از مهم ترین مفاهیم علم ریاضی بوده و به همان اندازه در ریاضی اهمیت دارد که مفهوم  مجموعه دارد. اغلب، می گویند تابع، کمیت متغیری است که از کمیت متغیر دیگر تبعیت می کند. برای توزیع "معمولی"، مانند:

Y=sinx ,y=x2 , y=a+bx

والی آخر، این تعریف کاملا مناسب می باشد. ممکن است اگر توابع دیگری، مانند: y=sin2x+cos2x

را در نظر بگیریم، می بینیم که مقادیر آن تابع دیگر تغییر نمی کند و بنابراین دیگر کمیت متغیری که از کمیت x تبعیت کند، وجود نداد.

تعریف تابع:
تناظری که به هر عنصر x از یک مجموعه x فقط و فقط یک عنصر y از یک مجموعه y رانسبت را دهد، تایع گویند. توابع را با حرف f یا حروف کوچک خطی لاتین نشان می دهیم.

ادامه نوشته

قدرت اعداد

سال ها پيش در يكي از كلاس هاي رياضيات مدارس آلمان، آموزگار براي اينكه مدتي بچه ها را سرگرم كند و به كارش برسد؛ از آنها خواست تا مجموع اعداد از يك تا صد را حساب كنند. پس از چند دقيقه يكي از شاگردان كلاس گفت: مجموع اين اعداد را پيدا كرده و حاصل عدد ۵۰۵۰ مي شود. با شنيدن اين عدد معلم با حيرت فراوان او را به پاي تخته برد تا روش محاسبه خود را توضيح دهد. به نظر شما اين شاگرد باهوش كه بعدها يكي از بزرگ ترين و معروف ترين رياضيدانان دنيا شد، چه روشي را به كار بست؟ او اعداد يك تا صد را به رديف پشت سرهم نوشت، سپس بار ديگر همين اعداد را بالعكس، اين بار از صدتا يك، درست در رديف زيرين اعداد قبلي نوشت. طوري كه هر عدد زير عدد رديف بالاتر قرار گرفت.وي مشاهده كرد كه مجموع هر كدام از ستون هاي به وجود آمده ۱۰۱ است. سپس نتيجه گرفت كه صد تا عدد ۱۰۱ داريم كه حاصل مجموع آنها مي شود ۱۰۱۰۰=۱۰۱*۱۰۰. پس از آن تنها كافي بود كه اين مجموع به دست آمده نصف شود يعني:
۵۰۵۰=۲/۱۰۱۰۰

ادامه نوشته

سری

مفهوم سری :

---

 در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

...+5+4+3+2+1

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.

سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.

a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا نشان میدهند
در صورتی که به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.

هر سری تابعی به شکل
را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:

حال به قضیه مهمی به نام قضیه تیلور میرسیم؛طبق این قضیه  هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب نوشت.

قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:

لازم به توضیح است که در سری فوق c=0 در نظر گرفته شده است.

تصاعد حسابی

همانطور که می‌دانیم اصطلاح "سری" را برای کمیت‌هایی که با ضابطه معینی مرتب شده‌اند بکار می‌بریم. هر یک از این کمیت‌ها را یک جمله سری و جمله nام را که برحسب n نوشته می‌شود جمله عمومی می‌نامیم.

تعریف:

اگر جمله عمومی یک سری بصورت باشد که در آن d , a عددهای ثابت و مستقل از n هستند، سری را تصاعد حسابی می‌نامیم. از تعریف بدست می‌آید:

پس تفاضل هر دو جمله متوالی تصاعد حسابی مقدار ثابت d است. به همین سبب d را تفاضل مشترک تصاعد حسابی می‌نامند. همچنین به ازای n=1 ، . پس ، a جمله اول تصاعد حسابی است. بنابراین جمله‌های دیگر تصاعد حسابی با افزودن مقدار ثابت d به جمله پیش از آن بدست می‌آید.

مجموع n جمله اول تصاعد حسابی

فرض می‌کنیم که جمله rام تصاعد حسابی باشد، یعنی . می خواهیم را که با نشان داده می‌شود، حساب کنیم. اکنون ، سری دیگری می‌سازیم که در آن n جمله اول تصاعد حسابی با ترتیب عکس قرار گرفته باشند سری جدید بصورت زیر است:

مجموع این سری همان مجموع n جمله اول تصاعد حسابی است. پس ،


معمولا جمله nام ، یعنی را با l نشان می‌دهیم. پس

ویژگی‌ها

• اگر عددی را به همه جمله‌های یک تصاعد حسابی اضافه کنیم یا از آنها کم کنیم یک تصاعد حسابی دیگر با همان تفاضل مشترک بدست می‌آید.
• اگر همه جمله‌های یک تصاعد حسابی در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم شوند یک تصاعد حسابی دیگر با تفاضل مشترک متفاوت بدست می‌آیند.

تصاعد هندسی

به دنباله‌ای که رابطه بازگشتی آن باشد یک دنباله هندسی یا تصاعد هندسی گفته می‌شود.
را قدرنسبت تصاعد هندسی می‌نامیم.
اگر و باشد، دنباله اکیداً صعودی خواهد بود و اگر و دنباله اکیداً نزولی خواهد بود.
رابطه صریح دنباله هم به صورت می‌باشد که واضح نیز به نظر می‌رسد.
مسأله‌ای که در تصاعد هندسی قابل تأمل می‌باشد مجموع جملات آن است.
اگر را مجموع جملات تا تعریف کنیم:

آنگاه دنباله‌ای با رابطه بازگشتی زیر خواهد بود:

اما مقدار صریح نیز به سادگی قابل محاسبه می‌باشد که داریم:

---

مثال:

اگر مجموع جملات دنباله هندسی با عنصر اول و قدرنسبت و مجموع جملات دنباله هندسی دیگری با همان عنصر اول ولی قدرنسبت باشد. رابطه و را بدست آورید؟
حل .

سری تیلور :

به وسیلهٔ بسط تیلور ( Taylor series)، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.

 

تعریف: اگر در همسایگی و بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه را می‌توان به صورت توان‌هایی از نوشت.

   

 

که در اینجا،  مشتق n-اُم تابع  است. این بسط به نام ریاضی‌دان انگلیسی بروک تیلور اسم‌گذاری شده است. این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.

مثال:

در همسایگی ۱- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

 

می‌توان گفت:

 

                                   

 

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .

حالت خاص سری تیلور که در پیرامون نقطه ۰ می‌باشد را سری مکلورن می‌گویند.

موارد پر کاربرد

لگاریتم:

 

                               

                    

                        

دنباله هندسی نامتناهی:

                                                               

متغیرهای دنباله هندسی نامتناهی:

 

                                                       

                        

                                                

                                          

ریشه مربع:

 

           
                                       

                          
    






                                  



                  

                 
آزمون های همگرایی سریها را در ادامه مطلب ببینید.

ادامه نوشته

دنباله

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.

حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید: با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)

اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت: متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند و می‌توان چنین ضابطه‌ای برای آن تعیین نمود:
حال در مثالی دیگر تابع را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمی‌باشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود می‌آورد.
نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع ، ، که در آنها n عددی طبیعی است.
به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم. در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.
در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2 در برد که اولین جمله دنباله است متناظر می‌شود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n‌ در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می شود.

تعریف دنباله

---

دنباله (sequence) تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد. پس در حالت کلی یک دنباله چون f تابعی است از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر چون A.

اگر دامنه دنباله قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را نامتناهی می‌گوییم. به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر باشد دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با (f(n و یا به صورتی معمول‌تر به صورت نشان می‌دهیم. پس برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی n بجای نماد (f(n معمولا از نماد استفاده می‌کنیم. به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:
برای نمایش خود دنباله از نماد استفاده می‌کنیم. پس دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت نشان می دهیم:

دنباله حقیقی

---

دنباله را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد به عبارت دیگر تابعرا یک دنباله حقیقی می‌گویند.
به عنوان مثال دنبالهدنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

• لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله حقیقی است.

نمودار یک دنباله

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را بوسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم. به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

• بوسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم. نمودار این دنباله به این صورت خواهد بود:

• بوسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم مانند این نمودار:

جمله عمومی یک دنباله

---

همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند. جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که بوسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت است که همانند ضابطه تابع بوسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام را بدست آورد.
البته لازم به ذکر است همه دنباله‌ها دارای جمله عمومی نمی‌باشند. به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت.
حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟
پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم.
با مشاهده‌ی جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگتر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند
و جمله چهارم این دنباله عددی چون 9 نباشد! چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی کند.
پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی برای این دنباله صحیح‌تر است و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی

به دنباله اعداد زوج دقت کنید: ...,2,4,6,8,10,12

با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(10) کافی است جمله چهارم(8) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می گوییم.

• تعریف: در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که بوسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

از معروف ترین این دنباله ها می توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.

به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که بوسیله آن مشخص می‌شود:

که جملات آن به این صورت است: ...,1,1,2,3,5,8,13,21
مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلا برای محاسبه جمله نهم داریم:

---

تست روانشناسی

اشکال هندسی!

چند لحظه تمرکز کنید ؛ سپس ساده ترين اشكال هندسى را به خاطر بياوريد ؛ مربع، مستطيل ، مثلث، دايره و منحنى. سپس خيلى سريع و بدون اينكه زياد به مغزتان فشار بياوريد شكلى را انتخاب كنيد كه بيشتر از همه مى پسنديد. در حقيقت يك تست روانشناسى پيش روى شما قرار دارد كه با توجه به انتخابتان بسرعت نشان مى دهد شما در زندگى چه جور آدمى هستيد و در چه مشاغلی احتمال موفقیتتان بیشتر است!

البته می توان گفت چون این تست صرفا از یک جنبه به قضاوت پرداخته ، زیاد قابل تکیه نیست اما چندان هم دور از واقعیت نمی باشد. 

برای مشاهده نتیجه تست به ادامه مطلب مراجعه کنید.

ادامه نوشته

شمارش در مصر باستان

در سیستم شمارش عربی با 10 رقم(از صفر تا 9) می­توانیم اعدادی هرچقدر بزرگ که بخواهیم بسازیم. بدین گونه که همه ارقام را برای شمارش تا 9 بکار می­بریم و پس از آن برای ساختن اعداد بزرگتر، آنها را با هم ترکیب می­کنیم. به همین خاطر هر اندازه که جا برای نوشتن داشته باشیم، عدد کم نمی­آوریم.
اما مصریان باستان به گونه­ای دیگر فکر می­کردند، آنها یک خط ساده به معنای یک داشتند، مثل ما، اما در عوضِ یک نماد جدید برای عدد 2، آنها دو خط بکار می­بردند. به همین گونه سه خط برای عدد 3، چهار خط برای عدد چهار و تا نُه خط برای عدد 9. تا اینجا تقریبا تعداد زیادی خط وجود دارد! بنابراین مصریان برای عدد 10 یک نماد جدید ابداع کرده­اند.
سپس آنها اضافه کردن خطوط برای واحدها و نماد ده برای دهگانها را ادامه می­دهند تااینکه به صد برسند. در اینجا نیز باز به یک نماد جدید نیاز است.
اینگونه دستگاه شمارش، "یگانی" نامیده می­شود. در میان تمدنهای باستانی این سیستم متعارف و مشترک است. یک مزیت سیستم یگانی این است که تفاوتی در ترتیب نوشتن اعداد وجود ندارد. شما می­توانید نمادها را در هم بریزید و همچنان معنای آنها را پیدا کنید. اما در سیستم شمارش ما 123 معنائی متفاوت از 321 دارد.
مصریان نیز درست مانند ما 10 را پایه سیستم شمارش خود قرار داده بودند. وجود ده انگشت در دستان، این مساله را عادی می­نمایاند.

نماد یک به احتمال از انگشت گرفته شده است. هرکسی شمارش را با انگشتانش آغاز می­کند.

نمادها با بزرگتر شدن اعداد پیچیده­تر می­شوند. نماد عدد ده تکه­ای از یک ریسمان است.

نماد عدد صد یک ریسمان مارپیچ است.

نماد عددهزار یک لوتوس یا نیلوفر آبی است که برگ، ساقه و ساقه­های زیرزمینی یا ریشه را نشان می­دهد.

نماد عدد ده­هزار یک انگشت منفرد بزرگ است . شاید این انگشت ده­هزار مرتبه بزرگتر از نماد یک است.

نماد صدهزار یک بچه قورباغه است که به نظر تاحد زیادی به یک قورباغه دگرگون شده است. اگر دلیل استفاده این سمبل برای عددی به این بزرگی را می­خواهید استخری مملو از تخم قورباغه که همگی در حال دگردیسی به قورباغه­های کوچک هستند را در نظر بیاورید.

نماد یک میلیون الهه­ای به نام "Heh" است.

مصریها حتی نمادی برای بینهایت نیز داشته­اند که بزرگتر از هر عددی که نوشته می­شده بوده است. این نماد یک دایره است که شما می­توانید همواره بر روی آن حرکت کنید بدون اینکه به پایان برسید.

Ra (خدای خورشید) عقابی است که این نماد را در هریک از چنگال­های خود حمل می­کند.
مصریان به سیستم شمارشی قوی برای ساختن اهرام نیاز داشته­اند. آنها باید مقدار سنگ مورد نیاز اهرام، غذای مورد نیاز روزانه کارگران و همچنین برای انبار کردن و اینکه هیچگاه تمام نشود را محاسبه می­نموده­ اند.
آنان همچنین نمادهائی برای کسرها داشته­اند اما هیچ نمادی برای صفر نداشته­ اند.

عدد پی

معمولاً فقط برای ریاضیدان ها و مهندس ها عدد پی جزء اولویت های زندگی، آن هم نه اولویت های مهم بلکه اولویت های درجه دوم یا سوم است.سایر مردم حداکثر آن را در حد دروس مدرسه، با عدد3/14، یا کم حافظه ترها با عددی حول و حوش ۳ به یاد می آورند.

اما برای آکیرا هاراگوچی عدد پی چیزی بیش از یک عدد صرف است. او می گوید: عدد پی...

ادامه نوشته

حدس کولاتز

بايک عدد طبيعي شروع کنيد.اگر فرد بود به سه برابر آن يک واحد اضافه کنيد و اگر زوج بود آن را نصف کنيد.اين فرايند را براي نتيجه تکرار کنيد براي مثال با 12 شروع کنيد داريم 6،سپس 3 و بعد 1 برای 16 داریم 8 و 4 و 2 و 1،تمام 

در واقع ادعا آن است که با هر عددي شروع کنيد به 1 مي رسيد!تاکنون کسي موفق نشده اين حکم را اثبات کند و مثالي هم براي رد اين ادعا پيدا نشده است.اين مسئله به نام حدس کولاتز شهرت دارد.

 

شگفتی های عدد 7

*رنگین کمان 7 رنگ دارد .

*عجایب جهان 7 تا هستند .

* سوره حمد که اولین سوره قرآن است 7 آیه دارد .

* آسمان 7 طبقه دارد .

*موسیقی ایران و یونان 7 دستگاه دارد .

* 7 نوع ساز بادی وجود دارد .

* 7 نت موسیقی وجود دارد .

* ایرانیان برای اهورامزدا 7 صفت نیک بر می شمردند .

* سفره سال نو 7 س دارد .

* عرفای بزرگ برای عشق و وصال 7 مرحله طی می کنند .

* طواف نیز 7 بار است .

جملات زیبا

حاصلضرب توان در ادعا مقداری ثابت است ،

و هرچه توان انسان بیشتر شود ادعایش کمتر می گردد

 هرچه توان انسان کمتر باشد ادعای او بیشتر است.   "پرفسور حسابی"

ادامه نوشته

تابع عشق

تابع عشق تو را دامنه‌اش پیدا نیست

یک‌به‌یک هست ولی بهر دلم پوشا نیست

می‌هراسم که چو معکوس نمایم آنرا

آشکارا شود آن رابطه که پیدا نیست

راستی گر به تو بسیار شوم من نزدیک

عشق پاکت به کجا میل نماید جا نیست

گر تو خواهی که در آغوش تو من جا گیرم

تابع ، فرد خودت زوج نما ، پروا نیست

منحنی دلت از رأس شکسته است چه باک

که مماس دل من هست ولی آنجا نیست

رفع ابهام نمودم ز خم لبهایت

پس سخن ساده بگو وقت غم و حاشا نیست

هر چه من روی نمودار رخت گردیدم

باز یک نقطه‌ی بحرانی آن پیدا نیست

من بیچاره اسیر خم گیسوی توام

این چنین تابع بی چون و چرا هر جا نیست

چون سعادت سر و کارش به توابع افتاد

بیکران تر ز نگاهش به همه دنیا نیست

نظر یک ریاضیدان درباره زن و مرد

روزی از دانشمندی ریاضیدان نظرش را درباره زن و مرد پرسیدند ...

او جواب داد :
اگر زن یا مرد دارای (اخلاق) باشند پس مساوی هستند با عدد یک =1
اگر دارای (زیبایی) هم باشند پس یک صفر جلوی عدد یک میگذاریم =10
اگر (ثروت) هم داشته باشند صفر دیگری را در جلوی عدد قبلی اضافه می کنیم =100
اگر دارای (علم) هم باشند پس باز هم صفر دیگری را در جلوی عدد قبلی اضافه می کنیم =1000
اگر دارای (اصل و نسب) هم باشند پس همچنان صفر دیگری را در جلوی عدد قبلی اضافه می کنیم =10000
.
.
.
ولی اگر زمانی عدد یک (اخلاق) از بین رفت چیزی به جز صفر باقی نمی ماند و صفر هم به تنهایی هیچ است !
پس انسان بدون (اخلاق) هیچ ارزشی نخواهد داشت.

 

خطای دید

   کدوم طرف محوطه ی زیر بلندتره؟ 

                         

این شکل از سمت راست چند تا مستطیل هستش حالا از از سمت چپ بشمارید

 

تست هوش

در این تست هوش میتوانید بفهمید که آیا مغز شما از کار افتاده است!؟

 

جای علامت سوال چه عددی میشه گذاشت؟

1=5

2=25

3=125

4=625

؟=5

قبل از دیدن جواب یکم فکر کنید!

ادامه نوشته

نامه یک ریاضیدان به دوستش

نامه یک ریاضیدان به دوستش

به نام او که عالم را بر اساس « حساب » و « هندسه » آفرید . آری به نام او که همه چیز دنیا را بر اساس حساب استوار کرد و بر پایه هندسه نظم بخشید .

دوست خوبم  سلام !

امیداورم روزهای زندگی ات سرشار از تلاشهای مثبت و منطق بر خط راست در جهت رسیدن به خدای یگانه باشد .

دوست خوبم !

جریان اندیشه های زلال سرزمین فکر ما را آبیاری و سر سبز می کند ، پس چه نیک است سر گذرگاه جریان اندیشه های خویش بنشینیم و از زاویه بالا آن را تماشا کنیم اگر دو ضلع زندگی« امید » و« عمل » باشد زاویه زندگی به لطف خدا همواره « منفرجه » است .

بدان که« امید » را باید به منزله مرکزی دانست که کلیه امور بشری مانند دایره پیرامون آن می چرخد و« عمل » همان تلاش های مثبت اوست که او را به مقصد می رساند .

دوست خوبم !

ادامه نوشته

معما

می گوینداین چیستان را بیل گیتس (رئیس ماکروسافت) در سال ۲۰۰۲ طراحی کرد تا از میان ۱۰۰ مهندس یکی را برای شرکتش انتخاب کند.

دو اتاق در مجاورت هم قرار دارند. هر کدام یک در دارند ولی هیچ کدام پنجره ندارند. درهایشان که بسته باشد درون اتاقها کاملا تاریک است. در یک اتاق سه چراغ برق به توانهای ۱۰۰، ۱۱۰ و ۱۲۰ وات و در اتاق دیگر سه کلید برق مثل هم وجود دارد.

ما نمیدانیم کدام کلید کدام چراغ را روشن میکند (مثلا نمیدانیم آیا کلید وسطی مربوط است به چراغ وسطی یا به چراغهای دیگر اما بطور قطع میدانیم که هر کدام از کلید ها یکی از چراغها را روشن میکند. همچنین ترتیب چراغها را هم نمیدانیم).

ادامه نوشته

تاریخ تولد دوستتان را حدس بزنید

در روابط جبری می توان تنها یک مجهول داشت و حیله ی بازی را بر آن استوار کرد. به همین شیوه می توان حیله های دیگری شامل عبارات دو مجهولی ابداع کرد و برای آنها دو عدد یافت .

نمونه ای را در نظر بگیرید که بدان طریق می توان تاریخ تولد افراد را تعیین کرد. نخست ماههای سال را از 1 تا 12 شماره گذاری کنید و شماره 1 را به فروردین اختصاص دهید. m را برای ماه و d را برای روزی که می خواهیم معین کنیم در نظر می گیریم . حال از مخاطب بخواهید عملیات زیر را انجام دهد:

۱) شماره ماهی که در آن متولد شده است را ۵ برابر کند.

2) 7 واحد به حاصل ضرب اضافه کند.

۳) حاصل را ۴ برابر کند.

۴) ۱۳ واحد به نتیجه اضافه کند.

۵) حاصل را در ۵ ضرب کند.

۶) عدد روزی که متولد شده به حاصل ضرب اضافه کند.

۷) ۲۰۵ واحد از حاصل کند.

حال عدد به دست آمده در مرحله آخر را از او بخواهید مرتبه صدگان ماه مورد نظر و بقیه اعداد نمایانگر روز تولد است.

ریاضیان هم علم است و هم هنر . علم بدان معنا که کشف می کند و هنر بدان معنا که زیباست .

ریاضیات مادر علوم و حساب مادر ریاضیات است، گاهی فرود آمده و به خدمت ستاره شناسی و علوم دیگرطبیعی در می آید ولی در همه حال شأن مادری اش محفوظ است. (نیکلای لباچسکفی)